Queremos resolver $\int_{\infty}^{\infty}{e^{-x^2}dx}$, una integral que aparece muchísimo en la física y las matemáticas, sobre todo en teoría de la probabilidad.
Para ello vamos a hacer uso de una herramienta fundamental para cualquier estudiante de ciencias exactas: un cambio a coordenadas polares. Tenemos que:
$$I=\int_{\infty}^{\infty}{e^{-x^2}dx}$$
elevamos al cuadrado los dos miembros:
$$I^2=I\cdot I=\int_{\infty}^{\infty}{e^{-x^2}dx}\int_{\infty}^{\infty}{e^{-x^2}dx}$$
como x es una variable, nos da igual por qué letra designarla, por lo que cambiamos $x$ por $y$ en una de las integrales:
$$I^2=\int_{\infty}^{\infty}{e^{-x^2}dx}\int_{\infty}^{\infty}{e^{-y^2}dy}$$
y por propiedades de las integrales y las exponenciales sabemos que esto es igual a:
$$I^2=\int_{\infty}^{\infty}\int_{\infty}^{\infty} e^{-(x+y)^2}$$
Ahora hacemos el cambio a coordenadas polares, donde $r^2=x^2+y^2$ y el jacobiano (factor de corrección) es $J=rdrd\theta$:
$$I^2=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty}re^{-r^2}drd\theta$$
expresión que podemos simplificar facilmente haciendo un nuevo cambio de variable: $u=-r^2$ con $du=-\frac{1}{2}rdr$:
$$I^2=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}d\theta= \pi$$
Concluímos así que:
$$I=\int_{\infty}^{\infty}{e^{-x^2}dx}=\sqrt{\pi}$$
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