¿Qué es la derivada material?

En varios campos de la física, aunque sobre todo en la mecánica de fluídos, nos encontramos con el interesante operador de la derivada material, también llamado derivada sustancial o derivada total.

Este operador nos sirve para obtener el ritmo de cambio de una cantidad (velocidad, temperatura, o cualquier medida de interés) de un fluído que se mueve con velociad $\mathbf{u}$.

Denotada normalmente $\frac{DA}{Dt}$ se define como:

$$\frac{DA}{Dt}=\frac{\partial{A}}{\partial{t}}+(\mathbf{u}\cdot\nabla)A$$

Donde $A$ es la propiedad que nos interesa.

Así, podemos interpretarla como la tasa de cambio temporal que mediríamos si viajáramos acompañando en su largo camino una partícula concreta.

Entonces... ¿Qué ocurre si $\frac{DA}{Dt}=0$? ¿La partícula está quieta? ¿Explota? Simplemente nos dice que cada partícula va a retener el "$A$" con el que empezó el movimiento.